Analyse asymptotique et couche limite by Jean Cousteix, Jacques Mauss

By Jean Cousteix, Jacques Mauss

Le yet du livre est de donner aux enseignants et aux ?tudiants (? partir de Bac+4) en math?matiques appliqu?es et en m?canique des fluides un outil d'enseignement et d'apprentissage illustr? par cinquante probl?mes accompagn?s de leur correction d?taill?e. Il pr?sente une nouvelle m?thode d'analyse asymptotique pour des probl?mes de "couche limite". Celle-ci est appel?e MASC "M?thode des Approximations Successives Compl?mentaires".

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Le formalisme nécessaire sera développé dans les chapitres suivants et nous reviendrons sur les équations différentielles pour étudier des cas qui ne peuvent faire l’objet d’une analyse aussi simple et pour améliorer les approximations obtenues. L’objet de ce chapitre a été essentiellement de localiser la couche limite par une étude analogue à une étude de stabilité [98]. Ceci peut se révéler très utile pour des problèmes plus difficiles, y compris pour des équations aux dérivées partielles. 1. On se propose d’étudier une approximation asymptotique de y (x, ε) telle que : d2 y dy − 2 (x − 1) y = 0, Lε y ≡ ε 2 + 2 (x − 1) dx dx où : 0 ≤ x ≤ 2, avec : y (0, ε) = 1, y (2, ε) = 0.

L’équation pour ψ ∗ est : ψ ∗ = −ω ∗ , Le rotationnel de vitesse ω ∗ = − 1 y∗ 3 avec ψ ∗ = 0 en r∗ = a et ψ ∗ → U∞ y ∗ + ε 2 3 a quand r∗ → ∞. 1. Rendre le problème sans dimension à l’aide de U∞ et a. Les quantités sans dimension seront notées sans l’exposant « ∗ ». On cherche d’abord à exprimer ω en fonction de ψ. Par une méthode de perturbation, montrer que : 2 ω = −2εψ + ε2 ψ 3 + · · · . 3 Pour cela, on cherchera, à l’infini amont, la relation y(ψ) par une méthode itérative en écrivant : 1 3 .

2) n=1 On a ainsi construit un développement asymptotique à m termes dans D. Compte tenu de la non-unicité d’un développement asymptotique, le nombre de termes n’est pas un élément significatif. Il vaut mieux dire que l’on a construit un développement asymptotique à l’ordre δm . On peut l’écrire avec plus de précision sous la forme : m δn (ε) ϕn (x, ε) + OS [δm+1 (ε)] . 3) n=1 Ces développements sont tels que : ∀n : ϕn (x, ε) = OS (1) et δn+1 ≺ δn . Comme on utilise la norme de la convergence uniforme, la définition de l’ordre strict implique que les fonctions ϕn sont bornées dans leur intervalle de définition.

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